Logika Matematika

Logika Matematika adalah cabang ilmu di bidang matematika yang memperdalam masalah logika. yang memperjelas logika dengan kaidah-kaidah (aturan) matematika.

Trend perkembangan:
◦Logika proporsional
◦Logika predikat
◦Pemrograman logika
◦Logika fuzzy (logika kabur)
Objek logika adalah pernyataan-pernyataan yang memiliki arti dan memiliki satu nilai saja, yaitu benar atau salah. 

Logika Proporsional

Logika Proporsional adalah Logika yang memproses penarikan kesimpulan secara logis (logical derivation) dari proposisi-proposisi. Istilah lainnya adalah : Proportional Logic atau Proportional Calculus.

Proposisi adalah Setiap pernyataan yang hanya memiliki satu nilai benar atau salah.

Contoh:
◦Program komputer ini mempunyai bug.

Proposisi atau pernyataan ada yang berbentuk:
◦Atomik (atomic proposition): proposisi yang tak dapat dipecah menjadi beberapa proposisi.
–Contoh: Anda harus belajar dengan rajin.
◦Majemuk (compound proposition): gabungan dari beberapa proposisi atomik menggunakan perangkai (connectives).
–Contoh: Anda harus belajar dengan rajin atau Anda akan gagal ujian.

Bukan Proposisi

Pernyataan bukan proposisi adalah Pernyataan yang menimbulkan banyak pendapat. misal :
◦Angka 13 adalah angka sial.
◦Angka 7 adalah angka keberuntungan.
◦Ungu adalah warna janda.

Kalimat perintah dan kalimat tanya.
◦Badu, kerjakan tugas tersebut!
◦Badu, apakah engkau sudah mengerjakan tugas?

Sebuah proposisi tidak boleh digantikan oleh proposisi lain meski memiliki makna sama.contoh :
◦A = Badu lapar.
◦B = Badu kenyang.
Bagaimanakah bentuk pernyataan “Tidak A”??
Bolehkah “Tidak A” digantikan oleh B??

Variabel Proporsional

Penggunaan huruf latin sebagai variabel proposisional, tanpa menghilangkan sifat utama proposisi.
Contoh:
◦A = Badu lapar.
◦B = Badu kenyang.
Huruf latin yang tidak boleh digunakan: T dan F --> konstanta proporsional.

Argumen

Argumen adalah kumpulan pernyataan, yang disebut premis, dan diikuti oleh kesimpulan yang selaras dengan premis-premisnya.
Contoh:
◦[1] Jika Anda rajin belajar, maka Anda lulus ujian.
◦[2] Jika Anda lulus ujian, maka Anda senang.
◦[3] Dengan demikian, jika Anda rajin belajar, maka Anda senang.
◦Pernyataan [1] & [2] : premis, [3] : kesimpulan. 

Sumber : http://alfisyahrinuzula.blogspot.com/2013/11/pengantar-logika-matematika.html

Proposisi, Kombinasi Proposisi, Hukum Logika Proposisi, dan Tabel Kebenaran

A. PROPOSISI

Proposisi adalah kalimat atau pernyataan yang selalu memiliki nilai kebenaran, baik itu bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya. Berikut ini merupakan contoh kalimat yang merupakan proposisi maupun yang bukan.

1.    4 adalah bilangan genap.

2.    Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama
  Uni∨ersitas Jendral Soedirman terletak di Temanggung.

4.    x + y = 2.

5.    Dimana letak pulau Jawa?

Kalimat 1 dan 2 adalah kalimat proposisi yang bernilai benar. Kalimat 3 adalah kalimat proposisi yang bernilai salah. Sedangkan kalimat 4 dan 5 bukan merupakan kalimat proposisi.

Proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,….. misalnya:

p : 4 adalah bilangan genap.

q : Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama.

r : Uni∨ersitas Jendral Soedirman terletak di Temanggung.

B. KOMBINASI PROPOSISI

Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi baru. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi disebut operator logika. Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and),  atau (or), dan  tidak (not).  Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound proposition). Dalam logika, dikenal 5 buah operator seperti dijelaskan dalam tabel berikut ini.

Contoh:

p : Hari ini hujan deras.

q : Mahasiswa tidak kuliah.

Maka:

p ∧ q    : Hari ini hujan deras dan mahasiswa tidak kuliah.

p ∨ q   : Hari ini hujan deras atau mahasiswa tidak kuliah.

-p       : Hari ini tidak hujan deras.

p ∧ -q  : Hari ini hujan deras dan mahasiswa kuliah.

-(-p)  : Tidak benar bahwa hari ini tidak hujan deras.

p ⇒ q   : Jika hari ini hujan deras, maka mahasiswa tidak kuliah.

p ⇔ q   : Hari ini hujan deras jika hanya jika mahasiswa tidak kuliah.

C. HUKUM LOGIKA PROPOSISI

Berikut adalah hukum-hukum logika yang berlaku pada proposisi.

1. Hukum Identitas

p ∨ F ⇔ p

p ∧ T ⇔ P

2. Hukum Null / dominasi

p ∧ F ⇔ F

p ∨ T ⇔ T

3. Hukum Negasi

p ∨ -p ⇔ T

p ∧ -p ⇔ F

4. Hukum Idempotent

p ∨ p ⇔ p

p ∧ p ⇔ p

5. Hukum Involusi (negasi ganda)

-(-p) ⇔ p

6. Hukum Penyerapan (absorpsi)

p ∨ ( p ∧ q) ⇔ p

p ∧ (p ∨ q) ⇔ p

7. Hukum Komutatif

p ∨ q ⇔ q ∨ p

p ∧ q ⇔ q ∧ p

8. Hukum Asosiatif

p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r

p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r

9. Hukum Distributif

p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

10. Hukum De Morgan

- (p ∧ q) ⇔ -p ∨ -q

- (p ∨ q) ⇔ -p ∧ -q

D. TABEL KEBENARAN

Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang memuat nilai kebenaran proposisi majemuk. Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran proposisi-proposisi pembangunnya. Jika kalimat majemuk yang akan kita buat tabel kebenarannya memuat n proposisi tunggal, maka jumlah komposisi nilai kebenarannya ada 2n.

Tautologi dan Kontradiksi

Dalam logika matematika, tautologi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai benar untuk setiap kemungkinan atau nilai kebenaran komponen-komponennya.
Hal ini dapat dibuktikan menggunakan tabel kebenaran ataupun sifat-sifat logika. Jadi dalam segala kemungkinan bentuk tabel kebenaran, maka selalu menghasilkan nilai True. Atau proposisi tersebut apabila dijabarkan dengan menggunakan hukum-hukum logika yang benar maka akan menghasilkan kesimpulan nilai akhir adalah True (T).

Kontradiksi adalah suatu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan dari premis-premisnya. Kadi, kontradiksi berlawanan dengan tautologi. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel kebenaran ataupun sifat-sifat logika. Jadi dalam segala kemungkinan bentuk tabel kebenaran, maka selalu menghasilkan nilai False. Atau proposisi tersebut apabila dijabarkan dengan menggunakan hukum-hukum logika yang benar maka akan menghasilkan kesimpulan nilai akhir adalah False (F).

Sumber : http://alfisyahrinuzula.blogspot.com/2013/10/proposisi-kombinasi-proposisi-dan-tabel.html

Domain, Kodomain dan Range

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.”Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematikadan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secarasinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

1. Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerahkawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan "setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “

Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),

(4, 8),(6, 6)}

2). Domain, Kodomain  dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan  B disebut Kodomain (daerah kawan) dan  semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Contoh 3 :

Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :

Jawab:

Domain = {2, 4, 6}

Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

Contoh 4

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:

a. Domain = { 3, 5 }

Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}

Range = { 1, 2, 8}

b. Domain = { 3, 5, 7, 8}

Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}

Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}

Sumber :  http://alinelizabeth2.blogspot.com/2013/06/fungsi-domain-kodomain-dan-range.html

Relasi

Contoh . Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
(a)      R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar.
Pengertian
Relasi adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara
paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adalah dengan
himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian
kartesian.

Definisi yang lain:
1. Perkalian kartesian (Cartesian products) antara himpunan A dan B ditulis: A x B
didefinisikan sebagai semua himpunan pasangan terurut dengan komponen pertama
adalah anggota himpunan A dan komponen kedua adlah anggota himpunan B.
A x B = { (x,y) / xÎA dan yÎB}

2. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.
A disebut daerah asal dari R (domain) dan B disebut daerah hasil (range) dari R.

3.Relasi pada A adalah relasi dari A ke A.

contohnya :

Misal X = {a,b,c}, B = {1,2}, maka : A x B = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}

Misal R adalah relasi pada A = {2,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh (x,y)ÎR jika x
adalah factor prima dari y, maka:
R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}

Representasi Relasi
1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah
 2. Representasi Relasi dengan Tabel
•    Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.
3. Representasi Relasi dengan Matriks
•    Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}.
•    Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij]

        

yang dalam hal ini:

 Contoh . Relasi R pada Contoh 3 dapat dinyatakan dengan matriks

dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = IF221,
b2 = IF251, b3 = IF342, dan b4 = IF323.

Relasi R pada Contoh 4 dapat dinyatakan dengan matriks,yang dalam hal ini, a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, dan b1 = 2, b2 = 4, b3 = 8, b4 = 9, b5 = 15.

4.  Representasi Relasi dengan Graf Berarah
•    Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)
•    Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.
•    Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)
•    Jika (a, b)  R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).
•    Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).

Sifat-sifat Relasi Biner
•    Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat.
1.  Refleksif (reflexive)
•    Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a)  R untuk setiap a  A.

•    Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a  A sedemikian  sehingga (a, a)  R

Contoh. 

Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.
 R : x lebih besar dari y,     S : x + y = 5,    T : 3x + y = 10
Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.
•    Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

•    Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

•    Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

2.    Menghantar (transitive)
 •    Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b)  R dan (b, c)  R, maka (a, c)     R, untuk a, b, c  A.
(a).      R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar.

(b).   R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena
(c).   (2, 4) dan (4, 2)  R, tetapi (2, 2)  R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3)  R, tetapi (4, 3)  R.  
(d).   Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar
(e).  Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b) R dan (b, c)  R sedemikian sehingga (a, c) R.
(f).   Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.                                           
Contoh 12. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb. Di sini  c = nma, sehingga a habis membagi c.  Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.                                               

Contoh 13. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.
    R : x lebih besar dari y,     S : x + y = 6,    T : 3x + y = 10
-  R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z.
- S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4)  S.
- T = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)} menghantar.                  

•    Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya
•    Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur  dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.  

Relasi Invers

• Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R–1,adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh

   R–1 = {(b, a) | (a, b) e R }

Contoh 17. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) e R  jika p habis membagi q maka kita peroleh

    R  = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

R–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P  dengan

(q, p) e R–1  jika q adalah kelipatan dari p

maka kita peroleh

    R–1  = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }                          

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R

maka matriks yang merepresentasikan relasi R–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,

Sumber : http://ariee93.blogspot.com/2012/09/relasi.html

Pengertian, Penulisan dan Macam Himpunan

A.      PENGERTIAN HIMPUNAN

Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang telah terdefinisi secara jelas  atau sekumpulan objek yang mempunyai satu kesatuan serta mempunyai keterikatan diantara anggota-anggotanya.

Contoh himpunan:

-          Kumpulan kata dalam kamus

-          Kumpulan buku dalam perpustakaan

Sifat keterikatan yang ada dalam kumpulan tersebut biasa disebut sifat-sifat dari himpunan:

1.       Setiap objek dapat dibedakan dari yang satu dengan yang lainnya yang ada dalam unsur/elemen dari himpunan itu sendiri.

2.       Dapat dibedakan mana anggota himpunan dan mana yang bukan.

Contoh:

Umum:  - himpunan mahasiswa ikip pgri bali yang namanya mulai dari huruf A.

         -himpunan binatang berkaki 2

`       -ilmu geometri berhubungan dengan matematika yang berhubungan dengan titik.

                Khusus: - himpunan bilangan positif

                                 -himpunan bilangan real yang x≤5004

                                 -himpunan asli yang 2 <x<60

ü Lambang himpunan biasa ditulis sebagai berikut: “A” = {    }

                ɛ = elemen / unsur

B.      MENYATAKAN ATAU MENULIS  SUATU HIMPUNAN

1.       Cara pendaftaran

Suatu cara yang dipergunakan untuk menulis himpunan dengan cara mendaftarkan setiap elemen / unsur dari himpunan tersebut.

Contoh : - himpunan bilangan bulat yang kurang dari sama dengan 18,

ditulis B= {0,1,2,3,...}

 -himpunan binatang berkaki 4, ditulis B= {sapi,babi,anjing,...}

2.       Cara pencirian

Suatu cara yang dipakai untuk menyatakan / menulis himpuna dengan cara menulis karakteristik dari setiap elemen / unsur himpunan tersebut.

Contoh: - himpunan bilangan real  yang 2,005<x≤10,11

                        Dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi  R={x/2,005<x≤10,11;xϵR}

 -himpunan bilangan bulat, dinyatakan dalam bentuk pencirian menjadi: B={x/xϵb}

C.      JUMLAH UNSUR SUATU HIMPUNAN

                Banyaknya elemen atau unsur yang terkandung didalam himpunan itu sendiri , biasanya di beri simbol “ N(A)”= kardinal.

                Contoh :

1.       A= {a,i,u,é,o,e}

“N(A)”= 6

2.       B= {-2,-1,0,1,2,3,4}

“N(A)”=7

D.      MACAM-MACAM HIMPUNAN

1.       Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki elemen atau unsur. Simbol himpunan kosong

i.                     {       }

ii.                   Ф atau Ǿ

Contoh : - himpunan nama hari yang diawali huruf z

                -himpunan bilangan bulat 4<x<5

        Jika ditulis dengan cara pencirian menjadi : A= {x/x}

2.       Himpunan Bagian

Jika A adalah himpunan, B juga himpunan  maka himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika untuk setiapn x elemen berada dalam himpunan  A dan untuk setiap x elemen pula berada dalam himpunan B.

Simbol : “C”

Contoh :

1.       A={1,3,5,7}

B=Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 25

Jadi  ACB

2.       D={0,1,2,3,4}

E={0,1,2,3,4}

Jadi DCE merupakan himpunan bagian biasa.

3.     Himpunan Bagian Sejati

Jika A adalah suatu himpunan dan B juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan himpunan bagian yang sejati dari himpunan B , jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan B , paling sedikit sekurang kurangnyaada 1 elemen B Yang tidak berada dalam himpunan A.

Contoh :

1.       A= {1,3,5,7}

B=Himpunan bilangan bulat positif yang kurang dari 25

Jadi ACB adalah himpunan bagian sejati

4.    Himpunan berhingga

Suatu himpunan yang elemen unsur/ anggotanya dapat dihitung banyaknya atau berhingga  banyaknya. Biasanya untuk menyatakan atau menulis himpunan ini tidak perlu ditulis secara keseluruhan dari elemen-elemennya ,cukup ditulis anggota awalnya serta anggota akhirnya.

Contoh :

1.       A=himpunan bilangan bulat positif < 2000

Jadi A={0,1,2,3,4,...,1999}

5.    Himpunan Tak Berhingga

Suatu himpunan yang elemen / unsur maupun anggotanya tidak dapat dihitung banyaknya(tak berhingga). Untuk menyatakan / menulis himpunan ini tidak perlu ditulis semuanya ukup ditulis elemen awal  dan titulis 3 titik tanpa ada elemen berikutnya.

Contoh:

1.       Himpunan bilangan asli

Jadi A= {1,2,3,...}

2.       Himpunan bilangan bulat

Jadi B={...,-2,-1,0,1,2,3,...}

6.    Himpunan Semesta(S)

Suatu himpunan yang elemen/unsur anggotanya merupakan keseluruhan dari objek objek pembicaraan didalam himpunan itu sendiri.

Contoh :

1.       A= himpunan garis yang saling berpotongan dalam suatu bidang datar

B= Himpunan suatu kurva yang saling berpotongan dalam suatu bidang datar

Jadi himpunan semesta adalah kumpulan titik-titik pada suatu bidang datar

7.    Himpunan Complument ( Ac)

Jika S adalah himpunan semesta dan A merupakan suatu himpunan bagian dari himpunan S, Maka Ac adalah suatu himpunan yang elemen atau unsur atau anggotanya adalah yang tidak berada pada himpunan A itu sendiri.

8.    Himpunan Bersandi

Jika A dalah himpunan dan B juga himpunan maka Himpunan A dikatakan himpunan bersandi  dari himpunan B jika dan hanya jika paling sedikitnya ada satu atau lebih unsur atau elemen dari kedua himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama.

Contoh ;

1.       A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

B= {5,7,9,11,13,15,17}

Jadi A bersandi B= {5,7,9}

9.    Himpunan Lepas

Jika A adalah suatu Himpunan dan B juga himpunan , maka A dikatakan himpunan lepas dari himpunan b jika dan hanya jiak kedua himpunan tersebut tidak mengandung unsur atau elemen yang saling bersekutu.

Contoh:

1.       A = {x/x bilangan ganjil}

B = {x/x bilangan genap}

Jadi A himpunan lepas B

10. Himpunan Sama

Jika A suatu himpunan dan b juga merupakan suatu himpunan maka himpunan A dikatakan Himpunan sama dengan himpunan B ,jika dan hanya jika untuk setiap x elemen berada dalam himpunan A dan x elemen berada pula pada himpunan B , begitu pula sebaliknya, maka dikatakan himpunan sama.

Contoh :

1.       A={a,i,u,e,o}

B={u,e,o,a,i}

Jadi A=B

2.       C={0,1,2,3,4,5,6}

D= {Himpunan Bilangan bulat positif yang kurang dariu dan sama dengan 6}

Jadi C=D

11. Himpunan Sederajat

Jika A merupakan suatu himpunan dan b juga merupaakan suatu himpunan, maka himpunan a dikatakan himpunan sederajat dengan himpunan B jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut mempunyai jumlah bilangan kardinal.

Contoh ;

1.       A={a,b,c,d,e,f,g}

B={0,1,2,3,4,5,6}

N(A)= 7

N(B)=7

N(A)=N(B)

Jadi A sederajat dengan B

Sumber : http://ani-kurnia.blogspot.com/2011/07/belajar-himpunan.html

Peranan IPTEK Terhadap Bidang Sosial dan Budaya

1.    Peranan IPTEK dalam Kehidupan Manusia

Dalam kehidupan manusia dewasa ini tidak terlepas dari ilmu alamiah dan ilmu terapannya berupa teknologi di berbagai bidang. Memang, pada mulanya antara ilmu alamiah dan teknologi itu tidak selalu mempunyai kaitan. Namun, dalam zaman modern ini, untuk membuat kapal, orang harus menguasai ilmu murni, hukum Archimedes, konstruksi baja dan sebagainya, agar kapal tidak tenggelam dan dapat mengarungi lautan.

Perkembangan dunia iptek yang demikian pesatnya telah membawa manfaat luar biasa bagi kemajuan peradaban umat manusia. Pengembangan IPTEK dianggap sebagai solusi dari permasalahan yang ada. Sebagian orang bahkan memuja iptek sebagai liberator yang akan membebaskan mereka dari kungkungan kefanaan dunia. Atas dasar kreatifitas akalnya, manusia mengembangkan IPTEK dalam rangka untuk mengolah SDA yang diberikan oleh Tuhan Yang Maha Esa. Dimana dalam pengembangan IPTEK harus didasarkan terhadap moral dan kemanusiaan yang adil dan beradab, agar semua masyarakat mengecam IPTEK secara merata. Begitu juga diharapkan SDM nya bisa lebih baik lagi, apalagi banyak kemudahan yang kita dapatkan.Namun, berbanding terbalik dengan realita yang ada karena semakin canggih perkembangan teknologi, telah membuat masyarakat menjadi malas yang disebabkan oleh kemudahan-kemudahan yang ada tersebut.

2.    Peranan IPTEK dalam Bidang Sosial

Kehidupan sosial dipengaruhi oleh kemajuan teknologi. Kebutuhan manusia akan pangan sangat dipengaruhi oleh kemajuan teknologi dalam bidang pertanian. Sedangkan kebutuhan akan komunikasi dipengaruhi oleh teknologinya, seperti media cetak, media elektronik selain untuk berkomunikasi, juga dapat memperluas wawasan. 

Dengan berkembangnya industri dan kegiatan ekonomi, maka memungkinkan orang hidup dalam lapangan pekerjaan tersebut. Hal tersebut dapat dilihat dari angka-angka yang menunjukan bahwa pekerja di pabrik atau perusahaan terus meningkat sedangkan bekerja di sektor pertanian makin menurun. 

Nilai sosial juga berubah. Pada masa lalu orang merasa bahwa menjadi pegawai negeri dinilai lebih tinggi status sosialnya dibandingkan para pedagang atau pengusaha. Sekarang menjadi pengusaha atau karyawan pabrik dianggap sebagai tenaga professional yang mempunyai nilai status yang tinggi.

Makin berkembangnya teknologi menyebabkan industri memproduksi barang secara massal juga meningkat. Tetapi sering kali juga dimanfaatkan untuk kepentingan yang negatif seperti peniruan atau pemalsusan merek dagang dan sebagainnya. Kian majunya masyarakat yang dibarengi dengan peningkatan jumlah penduduk, menyebabkan manusia sering kehilangan nilai etisnya dan mudah melakukan tindakan yang tercela dan melanggar hukum.

Dampak Positif :

·         Meningkatkan rasa percaya diri kemajuan ekonomi di negara-negara Asia melahirkan fenomena yang menarik. Perkembangan dan kemajuan ekonomi telah meningkatkan rasa percaya diri dan ketahanan diri sebagai suatu bangsa akan semakin kokoh. Bangsa-bangsa Barat tidak lagi melecehkan bangsa-bangsa di Asia.

·        Tekanan, kompetisi yang tajam, di pelbagai aspek kehidupan sebagai konsekuensi globalisasi, akan melahirkan generasi yang disiplin, tekun, dan pekerja keras.

·         keefektifan biaya dan waktu. Misalnya saat mengajar, kini telah ada teknologi pembelajaran secara online, jadi guru atau dosen tidak perlu repot untuk datang ke sekolah atau kampus, cukup menerangkan pelajaran lewat media internet kepada anak muridnya.

·         Masyarakat tidak perlu lagi membeli koran untuk mengetahui informasi mengenai berita, cukup dengan membuka internet, kita sudah dapat membaca berita melalui media online, dan tidak mengeluarkan biaya.

         Dampak Negatif : 

         · Kenakalan dan tindak penyimpangan dikalangan remaja dengan mengakses situs porno, dan oknum-oknum yang menggunakan media facebook, twitter, dll sebagai media porstitusi yang sudah jelas dapat merusak moral para generasi muda. 

        · Melemahkan rasa gotong-royong dan saling tolong-menolong yang menjadi ciri khas masyarakat Indonesia.

·        Manusia menjadi malas. Karena telah dimanjakan oleh teknologi, sehingga kita tidak perlu repot bertemu dengan seseorang. Dengan teknologi, kita tetap dapat bertatap muka meskipun tidak bertemu dengan orang tersebut.

  Masyarakat memang banyak yang mengeluh mengenai dampak negatif dari kemajuan teknologi. Namun kegiatannya tetap dilakukan karena memikirkan lebih banyak untung daripada ruginya. Meskipun dampak negatif tidak lebih banyak dari pada dampak positifnya, kita tetap harus menghindarinya, karena dampak yang kecil juga dapat menimbulkan dampak lain yang lebih besar.

3.    Peranan IPTEK dalam Bidang Budaya

Budaya atau kebudayaan adalah kerangka acuan bagi perilaku masyarakat pendukungnya yang berupa nilai-nilai (kebenaran, keindahan, keadilan, kemanusiaan, dll) yang berpengaruh sebagai kerangka untuk membentuk pandangan hidup manusia yang relatif menetap dan dapat dilihat dari warga budaya itu untuk menentukan sikapnya terhadap berbagai gejala dan peristiwa kehidupan.

Budaya dapat berwujud tiga hal, yaitu idea tau gagasan, tingkah laku atau tindakan dan benda atau barang yang dihasilkan oleh manusia. Jadi budaya mempunyai pengertian yang luas.
Seperti telah diuraikan di atas, teknologi dan industri mempunyai dampak positif dan negatif. Karena itu hendaknya teknologi secara efektif mampu memerangi kemiskinan, keterbelakangan dan menjamin kemajuan bagi bangsa manusia. Manusia juga perlu sadar bahwa orang menciptakan sesuatu bukan untuk menghancurkan, melainkan untuk kesejahteraan umat.

Jadi, bagaimana IPTEK mempengaruhi masyarakat dalam kebudayaan, itu semua tergantung pada diri masyarakatnya sendiri. Masyarakat harus selektif dan dapat bersifat kritis terhadap perkembangan IPTEK yang semakin pesat. Hendaknya kita menggunakan teknologi tersebut seperlu dan sepentingnya kita saja, jangan karena teknologi, semua menjadi terlupakan, baik itu waktu, kewajiban beribadah, sosialisasi di masyarakat sekitar, dll.

  Dampak Positif : 

· Semakin berkembangnya daya pikir individu dalam suatu bidang, baik dari segi ekonomi, politik, pendidikan, dan lain sebagainya. 

·         Kemampuan individu dalam mencari dan mengumpulkan data untuk bahan diskusi dapat mereka dapatkan dengan cepat dan akurat melalui media berbasis teknologi. 

         Dampak Negatif :

    · Penyalahgunaan media teknologi sebagai sarana pencarian yang tidak ada hubungannya dengan ilmu pengetahuan. Haltersebut dapat membentuk kebudayaan yang rendah akan moral dan sumber daya manusia yang bobrok dan tak berkualitas sedikitpun.

SUMBER :

http://not4pay.blogspot.com/2012/04/makalah-peranan-iptek-dalam-kehidupan.html

http://dirimu.files.wordpress.com/2010/03/ilmu-budaya-dasar.pdf

http://iffahufairohpsikolog.blogspot.com/2012/05/peranan-iptek-dalam-bidang-ekonomi.html

http://www.docstoc.com/docs/80097187/PENGARUH-IPTEK-TERHADAP-SOSIAL-EKONOMI-DAN-BUDAYA

Pemenuhan Kebutuhan Primer dan Sekunder

Untuk mempertahankan kehidupan manusia memerlukan kebutuhan. Kebutuhan manusia tidak terbatas jumlahnya, beraneka macam, tidak berhenti sampai pemenuhan tertentu, terus berubah dan berkembang baik secara kuantitas dan kualitas, kebutuhan sering timbul dalam waktu yang bersamaan, dan tidak ada batas waktu berhentinya .   Makin bertambahnya jumlah penduduk, semakin majunya ilmu pengetahuan dan teknologi, makin meluasnya lingkungan pergaulan manusia, serta semakin meningkatnya tingkat peradaban manusia—adalah beberapa factor yang menyebabkan kebutuhan manusia tidak terbatas jumlahnya.
Sedemikian banyak kebutuhan manusia, maka untuk mempermudah memahaminya kebutuhan manusia dapat digolongkan dalam beberapa klasifikasi di bawah ini :
1.      Kebutuhan Menurut Intensitas
Kebutuhan manusia berdasarkan intensitasnya adalah kebutuhan manusia dipandang dari penting tidaknya (urgensinya), mendesak atau tidaknya bagi kelangsungan kehidupan manusia. Kebutuhan ini dikelompokkan menjadi 3 (tiga), yaitu :
1)      Kebutuhan Primer, yaitu kebutuhan manusia yang mutlak harus dipenuhi agar manusia dapat tetap hidup dan beraktivitas. Sehingga dikatakan kebutuhan primer bersifat wajib bagi manusia untuk memenuhinya.
Contoh : kebutuhan akan pakaian, makanan dan minuman, serta tempat tinggal.
2)      Kebutuhan Sekuder, kebutuhan sekunder disebut juga dengan kebutuhan kultural, artinya kebutuhan yang timbul sehubungan dengan meningkatnya peradaban manusia. Kebutuhan sekunder adalah kebutuhan yang diperlukan oleh manusia setelah kebutuhan primer terpenuhi dengan baik. Dan kebutuhan sekunder bersifat menunjang kebutuhan primer.
Contoh : pakaian  yang baik, makanan dan minuman yang bergizi, tempat tinggal yang baik, dan sebagainya --  yang pada prinsipnya kebutuhan ini tidak tergolong kebutuhan mewah.
3)      Kebutuhan Tersier, adalah kebutuhan yang pemenuhannya setelah kebutuhan primer dan sekunder terpenuhi. Kebutuhan tersier bersifat kemewahan dan ditujukan untuk kesenangan hidup manusia. Dapat juga disebutkan bahwa kebutuhan ini untuk menunjukkan status sosial seseorang di masyarakat.
Contoh : mobil mewah, rumah mewah, pesawat televisi, laptop, handphone canggih, dan lain sebagainya
2.      Kebutuhan menurut Sifat
Kebutuhan menurut sifatnya adalah kebutuhan manusia yang ditinjau dari sudut dampak, pengaruhnya, atau akibat kebutuhan tersebut bagi jasmani dan rohani manusia. Menurut sifatnya maka kebutuhan dibedakan menjadi :
1)      Kebutuhan Jasmani, adalah kebutuhan yang berkaitan dengan badan lahiriah atau tubuh manusia.
Contoh : makanan, minuman, pakaian, buang air kecil dan besar, kesehatan, dan lain-lain.
2)      Kebutuhan Rohani, yaitu kebutuhan yang berkaitan dengan rohani atau jiwa manusia.
Contoh : beribadah, rekreasi, bersosialisasi, belajar, hiburan.
3.      Kebutuhan Menurut Waktu
Kebutuhan menurut waktu adalah kebutuhan manusia yang pemenuhannya didasarkan menurut waktu, yaitu waktu sekarang dan yang akan datang.
1)      Kebutuhan sekarang, adalah kebutuhan manusia yang harus dipenuhi sekarang juga. Kebutuhan ini bersifat mendesak dan tidak dapat ditunda pemenuhannya karena bilamana ditunda kebutuhan ini dapat berakibat fatal.
Contoh : berobat saat sakit, kebutuhan payung saat hujan, makan karena sangat lapar, buang air kecil atau besar.
2)      Kebutuhan yang akan datang, adalah kebutuhan yang pemenuhannya dapat ditunda untuk waktu yang akan datang, baik pada jangka pendek maupun jangka panjang.
Contoh : menunaikan ibadah haji, asuransi kesehatan, tabungan hari tua.
4.      Kebutuhan Menurut Wujud
Kebutuhan menurut wujudnya adalah kebutuhan manusia yang berhubungan dengan bentuk/wujud dari alat pemuas kebutuhan, dibedakan menjadi :
1)      Kebutuhan material, yaitu kebutuhan manusia berupa barang-barang yang dapat dilihat wujud atau bentuknya.
Contoh : roti, buku, motor, laptop, rumah, handphone, dan sebagainya.
2)      Kebutuhan immaterial, yaitu kebutuhan yang tidak berwujud tetapi dapat dirasakan.
Contoh : keadilan, keamanan, aktualisasi diri, kebebasan, kesehatan, kepuasan dan sebagainya.
5.      Kebutuhan Menurut Subyek
Kebutuhan menurut subyeknya adalah kebutuhan manusia yang penggolongannya menurut pihak yang menggunakannya, dibedakan menjadi :
1)      Kebutuhan individu, adalah kebutuhan yang diperlukan oleh perseorngan (individu).Kebutuhan ini tidak sam bagi tiap-tiap orang.
Contoh : kebutuhan dokter, kebutuhan pedagang, kebutuhan petani, kebutuhan guru.
2)      Kebutuhan kolektif, adalah kebutuhan bersama atau disebut juga kebutuhan sosial. Benda atau jasa yang digunakan untuk pemenuhan kebutuhan ini digunakan secara umum atau bersama.
Contoh : telepon umum, jalan umum, jembatan, rumah sakit, tempat peribadatan, dan sebagainya.

sumber :
 http://anikkurniatun.guru-indonesia.net/artikel_detail-17019.html